2022山形県立高校入試問題(数学第四問)

数学第4問は図形問題です。今年は「相似」が出ましたね。

1の証明と2(1)まで解きたい。2(2)は難問でした。

1<証明>

△ABCと△AHEにおいて

線分ABを直径とする円Oを考えると、半円の弧に対する円周角は等しいから、

∠ACB=∠AEH … ①

OC//ADで、錯覚は等しいから

∠HAE=∠OCA … ②

△OCAはOA=OCの二等辺三角形だから

∠BAC=∠OCA … ③

②、③より、

∠BAC=∠HAE … ④

①、④より、2組の角がそれぞれ等しいので

△ABC∽△AHE

2(1) AB=9㎝、BC=3㎝だから

△ABCは直角三角形なので、三平方の定理より

AB2 = BC2 + AC2

81 = 9 + AC2

AC2 = 81 -9

AC2 = 72

AC = 6√2

さらに、1の証明より△ABC∽△AHEを利用する。

△AHE∽△ACDなので、よって△ABC∽△ACD

この2つの三角形の相似比より

AB : AC = BC : CD

9  : 6√2 = 3 : CD

9CD = 18√2

CD = 2√2

(2)  △ACDは直角三角形なので、三平方の定理を利用。

AC2 = CD2 + AD2

72 = 8 + AD2

AD2 = 72 - 8

AD2 = 64

AD = 8

仮定よりAF:FD=5:3なので、AF=5、FD=3である。

GIに着目した時に、GIを含む三角形などの図形はないかと考えると、

△GIC ∽ △GFA がみつかる。

AF=5はわかっているが、その辺に対応するICはまだわからないし、

IGやGFもわからないので、別の図形で考える。

△OBJ ∽ △ABE に着目すると、

OB : AB = 1 : 2 より

BJ : BE = 1 : 2 だから BJ : JE = 1 : 1

CD = JE = 2√2 より BJ = 2√2

△OBJは直角三角形なので、三平方の定理より

OB2 = OJ2 + BJ2

OJ2 = OB2 - BJ2

OJ = 7/2

OJ : AE = 1 : 2

7/2 : AE = 1 : 2

AE = 7

AD = AE + EDより

8 = 7 + ED

ED = 1

FD = 3 より FE = FD - ED

FE = 3 - 1 = 2

△FEBは直角三角形なので、三平方の定理より

BF2 = FE2 + BE2

BF2 = 4 + 32

BF2 = 36

BF = 6

次に、△BEF ∽ △BJI に着目すると、

BJ : BE = 1 : 2 より

BI : BF = 1 : 2

BI : 6 = 1 : 2

BI = 3 したがって IF = 3

同様に、IJ : FE = 1 : 2 で、IJ = 1 となる。

JC = ED = 1 なので、IC = IJ + JC = 1 + 1 = 2

再び、△GIC ∽ △GFAに着目すると

IC : FA = 2 : 5 より

GI : GF = 2 : 5

IF = 3 より

GI = IF × 2/7

= 3 × 2/7

= 6/7

以上です。