令和6年度酒田南高校2月入試解答解説【数学その３】

大問５

番数 　　　　　　　１、　２、　３、　４、　５、　…

たて1列のレンガの数　　  ２、　３、　４、　５、　６、  …

よこ1列のレンガの数　　　１、　２、　３、　４、　５、　…

レンガの数　　　　　　６、　10、　14、　18、　22、　…

花壇の面積　　　　　　　　1600 、 3600、  6400、  …

（１）

4番目の花壇は、たて1列に5個、横1列に4個レンガが必要なので、　5×２＋4×２＝18（個）

（２）

たてのレンガの数はn＋1個、横のレンガの数はn個で表せるので、必要なレンガの数はそれぞれ2列ずつあるので、

2（ｎ＋１）＋２ｎ＝４ｎ＋２（個）

（３）

ｎ番目の花壇の占める面積は、縦の長さは20（ｎ＋１）㎝、横の長さ（20ｎ＋20）㎝の四角形の面積。

（20ｎ＋20）二乗＝４００ｎ二乗＋８００ｎ＋４００

大問６

（１）

【証明】

△AECと△BDCにおいて、

仮定より

AC＝BC

①AE＝BD

弧DCに対する②円周角は等しいから

③∠EAC＝∠DBC

したがって

④2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△AEC＝△BDC

（２） 

△ABCは正三角形より、∠ACB＝60°

∠ACB＝∠ACE＋∠ECB…①

∠DCE＝∠BCD＋∠ECB…②

△AEC≡△BDCにより

合同な三角形の対応する角は等しいので、

∠ACE＝∠BCD…③

①②③より∠ACB＝∠DCE＝６０°

（３）

線分ADが、線分BCの中点を通るとき、ADは円Oの中心を通るので、ADは円O直径になる。

また、ADは∠BAC＝60°を二等分するため、

∠DAC＝30°となる。

また、ADが直径であることより、∠ACD＝90°なので、

△ACDは、30°、90°、60°の直角三角形になる。

この三角形の辺の比は、１：２：√３より

AD：AC＝２：√３

AD：６＝２：√３

AD＝4√３

（４）

（２）において∠DCE＝６０°…①

（１）において合同な三角形の対応する辺は等しいので、

CE＝CD…②

①②より△CDEは正三角形より

∠CED＝60°…③

点CからADに垂線を引き、その交点をFとすると、

∠AFC＝90°。

弧DCの円周角は等しいことより、∠DBC＝∠DAC＝45°

残りの∠ACF＝45°

よって、△ACFは45°、45°、90°の直角三角形なので、

辺の比は１：１：√２

AC：CF＝√２：１

６：CF＝√２：１

CF＝3√２…①

さらに、△CEFにおいて∠CFE＝90°、∠FCE＝60÷2＝30°、残りの∠CEF＝60°より、辺の比は１：２：√３

CE：CF＝２：√３

CE：3√２＝２：√３

CE＝２√６

CE＝DEより、

DE＝2√６