令和6年度酒田南高校2月入試解答解説【数学その４】

大問７

（１）

y＝１／２x二乗に点Aのy座標であるy＝２を代入

２＝１／２x二乗

x＝±２

x＜０よりx＝－２

よって点A（－２、２）

同様に、点Bのx座標であるx＝３をy＝１／２x二乗に代入

y＝１／２×３二乗

y＝９／２

よって点B（３、９／２）

y＝ax＋ｂは2点AとBを通るので、

この2点の座標を代入

２＝－２a＋b　…①

９／２＝３a＋b　…②

①②の連立方程式を解くと、

a＝１／２

これを①に代入すると、

b＝３

よって、1次関数はy＝１／２x＋３

（２）

△OABの面積をy軸を境目に２つに分けると、

△OAB＝△OAC＋△OBC

△OAC＝OC×（点Aのx座標の長さ）×１／２

３×２×１／２＝３

同様に、△OBC＝OC×（点Bのx座標の長さ）×１／２

3×3×1／2＝9／2

よって

△OAB＝３＋9／２＝１５／２

（３）

点Pのx座標１を、y＝１／２x二乗に代入して、

y＝１／２

よって、点P（１、1／2）

Qは直線APの切片なので、直線APの式を求める。

直線APは、点P（１、１／２）と点A（－２、２）を通るので、

y＝ax＋bにこの二点を代入すると、

－２a＋b＝２…①

a＋b＝1／2…②

①②の連立方程式を解くと、

a＝-1／2、b＝１

よって、点Q（０，１）

△ABPをCPでわけて、

△ACPと△BCPに分けると、

その面積比は、

△ACP：△BCP＝AC：BC

ACとBCの長さの比は、点Aと点Bのx座標の長さの比に等しいので、

AC：BC＝２：３＝△ACP：△BCP

よって

△ACPは△ABPの２／５の面積となる。

同様に、

△ACPをCQで分けて、△ACQと△CQPに分ける。

△ACQ：△CQP＝AQ：QP＝点Aのx座標の長さ：点Pのx座標の長さ＝２：１

より

△ACQは△ACPの２／３の面積になる。

よって

△ACQ＝２／５×２／３×△ABP＝４／１５×△ABP

したがって、

△ACQ：△ABP＝４：１５

（４）

△OABの面積は△ABPの面積の3倍になるので、

△OABと△ABPは辺ABを共有する三角形なので、

面積比が高さの比と等しくなることを利用する。

△ABPの高さが１になるには、

切片２でABに平行な直線を引く。

この直線と①の交点が点Pとなる。

この直線は、y＝1／2x＋２…①であり、

y＝１／２x二乗…②と連立方程式を解くと、

x＝１±√17／2

x＞0より

x＝１＋√17／2