酒田南高校2月入試数学第5問解説
【問題】
1辺が１㎝の立方体を重ねてピラミッド型の立体をつくる。次の問いに答えなさい。
(１)６段まで重ねたときに使用する立方体の総数を求めなさい。
１段目は立方体が１個、２段目は立方体が３個、３段目は立方体が５個、４段目は立方体が７個 … と立方体の個数は２個ずつ増えます。６段目には１１個の立方体があると考えられます。これらすべてをたして答えは３６個。
(２)n段目まで重ねたときに使用する立方体の総数を、nを使った式で表しなさい。
１段目 １個 総数１個
２段目 ３個 総数４個＝２の２乗
３段目 ５個 総数９個＝３の２乗
４段目 ７個 総数１６個＝４の２乗
５段目 ９個 総数２５個＝５の２乗
段数と総数の関係に気づいたでしょうか？
総数は、段数の２乗になっていますよね。
だから、n段目までの総数はnの２乗です。
(３)n段目の立方体の数を、nをった式で表しなさい。
１段目の立方体１個からスタートして、２個ずつ増えていく。この２個ずつ増える増加量を何回分たしていくのかを考えると、
１段目 １個
２段目 １個＋２個(１回分)
３段目 １個＋２個＋２個(２回分)
４段目 １個＋２個＋２個＋２個(３回分)
と増えていきます。段数に対して－１回分２個たしていくと考えると、
n段あるなら、n－１回分２をたすことになります。
したがって、n段目は１個＋２個×(n－１)回なので、
答えは、１＋２n－２＝２n－１
(４)n段目まで重ねたときの立体全体の表面積を、nを使った式で表しなさい。
ピラミッドの表面と裏面は、立方体の数の総計なので、(２)で求めたようにnの２乗です。裏と表は同数なので合わせて、２nの２乗。
ピラミッドの側面は段数に等しいので、n個。左右は同数なので、２n個です。
ピラミッドの上面と下面はn段目の立方体の個数と同じなので、(３)で求めたように２n－１個です。よって、上下合わせて、２(２n－１)個です。
これらすべての面をたすと、立体全体の表面積は２nの２乗＋６n－２です。
いかがでしたでしょうか？
高校の数学で、等差数列を学習しますが、その前提の理解となる良問でした。
ここまで解説を読んだ下さり、ありがとうございました。
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